Top 10 des manières de savoir par quoi est divisible un nombre (et cartonner aux "Chiffres" quand on est nul aux "Lettres")

On a beau être costaud en calcul mental, on est souvent plus à l'aise avec les tables de multiplication qu'avec la procédure inverse, la division périlleuse, celle qui permet de faire un final spectaculaire au "Compte est Bon" dans "Des Chiffres et des Lettres" : "... que je multiplie par 17, ce qui me donne 952... le compte est bon, on passe aux lettres.". Quelques petits moyens faciles existent pour savoir si vous pouvez répartir équitablement vos bonbecs entre vos 7 enfants ou si vous pouvez avancer la tournée à vos deux potes sans qu'il ne vous filent des pièces jaunes pour vous rembourser.

'3'
C'est l'astuce de base, un nombre est divisible par '3' si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 3.
'2' , '4' et '8'
Un nombre est divisible par '2' si son dernier chiffre est pair. Il est donc divisible par '4' s'il est deux fois divisible par '2'. Mais pour éviter les calculs, puisque '100' est divisible par '4', il suffit de voir si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par '4'. '12345678916' est divisible par 4 car '16' l'est. Même principe pour 8, avec cette fois-ci le nombre formé par les 3 derniers chiffres. '123456789016' est donc divisible par '8'.
'5' et '25'
Un nombre dont le dernier chiffre est '5' ou '0' est divisible par '5'. On peut donc pousser le test aux différentes puissances de '5' : un nombre dont les 2 derniers chiffres sont divisibles par '25' est lui-même divisible par '25', un nombre dont les 3 derniers chiffres sont divisibles par '125' est lui-même divisible par '125', etc...

'6' et '12'
Un exemple de la nécessité de combiner les méthodes. '6' étant égal à 3x2, un nombre est divisible par '6' s'il combine les critères de divisibilité par '2' et par '3'. Pour une division par '12', faites le test avec '3' et '4'. Facile.
'9'
Un peu comme pour '3', un nombre est divisible par '9' si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par '9'. '18' est divisible par '9' car 1 + 8 = 9 ; '1023012' l'est également, car 1 + 0 + 2 + 3 + 0 + 1 + 2 = 9.
'7'
Soustrayez le double du dernier chiffre du nombre tronqué, et répétez l'opération jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un chiffre. Si ce chiffre est '0', '7' ou '-7', c'est gagné. '14' est divisible par '7' parce que 1 - (2x4) = -7. '6902' l'est aussi : 690 - 2x2 = 686 ; 68 - 2x6 = 56 ; 5 - 2x6 = -7.

'11'
Pour savoir si un nombre est divisible par 11, on fait la somme 'alternée' des chiffres qui le composent. Si le résultat est nul ou divisible par 11, votre nombre original l'est aussi. Pour '22' ou '55', c'est évident, pour '9856' par exemple, ça l'est beaucoup moins. mais 9 - 8 + 5 - 6 = 0 . 9856 est donc divisible par 11. '1095446' aussi (1 - 0 + 9 - 5 + 4 - 4 + 6 = 11)
'13'
L'astuce est à peu près la même que pour '7'. On prend le dernier chiffre, on le multiplie par 4 et on l'ajoute au reste. Le résultat doit être divisible par '13'. '143' est divisible par 13 car 14 + 3x4 = 26 = 2x13. '3341' l'est aussi, car 334 + 4x1 = 338 ; 33 + 4x8 = 65 ; 6 + 5x4 = 26.
'17'
On prend le dernier chiffre, on le multiplie par 5, et on le soustrait du nombre constitué des chiffres restant. '34' est divisible par '17' car 3 - 5x4 = -17. '21318' aussi car 2131 - 5x8 = 2091; 209 - 5x1 = 204 et 20 - 5x4 = 0. Impeccable.

'19'
Encore une fois le dernier chiffre, cette fois-ci multiplié par 2 et ajouté au reste. '38' est divisible par '19' car 3 + 2x8 = 19. '48716' également, 4871 + 2x6 = 4883 ; 488 + 2x3 = 494 ; 49 + 2x4 = 57 et 5 + 2x7 = 19. C'est bien fichu quand même.
(bonus inutile)'137'
'171906182461' est-il divisible par '137'? Voila une question qu'on peut être amené à se poser tous les jours. Pour le savoir, on saucissonne ce nombre par paquets de 4 chiffres depuis les unités. Ça nous donne 1719 ; 0618 ; 2461. On fait ensuite une somme en alternant les '-' et les '+' : 1719 - 618 + 2461 = 3562. Et '3562' est divisible par '137' (bon, il faut connaitre sa table de '137'...) donc '171906182461' est bien un multiple de '137'. Magie des maths.